যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত | ম্যাথমেটিক্স – ১

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ক্লাসটি “ম্যাথমেটিক্স – ১ [ Mathematics – 1 ]” এর ৯ম অধ্যায়ের [ Chapter 9 ] অংশ। এই ক্লাসটি “মেকানিকাল টেকনোলজি [ Mechanical technology ]” কোর্সের [Course] যা “১ম সেমিস্টার [ 1st Semester ] এর “ম্যাথমেটিক্স – ১ [ Mathematics – 1 ]” এ পড়ানো হয়।

 

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

 

যৌগিক কোণের কোণানুপাত  ( Trigonometrical Ratios of Compound Angles )

সূচনা ( Introduction )

দুই বা ততোধিক কোণের বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক বা মিশ্র ( Compound angle ) কোণ বলে। উদাহরণস্বরূপ A , B ও  C তিনটি কোণ হলে ( A+B ) , ( A+C ) , ( B+C ) , ( A-B+C ) ইত্যাদি হল যৌগিক কোণ। এই অধ্যায়ে আমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করব।

উপপাদ্য ( Theorem )

উপপাদ্য ১ : A , B এবং ( A+B ) ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে , প্রমাণ করতে হবে যে

1. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin⁡
2. cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos

মনে করি ঘূর্ণিয়মান OX→ সরলরেখা O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তন করে এবং প্রাথমিক অবস্থান OX−→− থেকে OY−→ অবস্থানে এসে ∠XOY=A সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে।

তারপর রেখাটি একই দিকে আবর্তন করে  OY−→ অবস্থান থেকে OZ→ অবস্থানে আসে এবং ∠YOZ=B সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে। তাহলে যদি ∠XOZ=A+B<90∘ হয়।

 

 

প্রমাণ করতে হবে

1. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin
2. cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos⁡

অঙ্কন : ( A+B ) যৌগিক কোণের অন্তিম বাহু  OZ−→ ওপর যেকোনো বিন্দু P নেওয়া হল এবং P বিন্দু থেকে

PQ−→→ এবং PR−→→ লম্ব টানা হল। তারপর R বিন্দু থেকে  OX−→−→ এবং PQ−→−→ এর ওপর যথাক্রমে RS−→→ এবং RT−→−→ লম্ব টানা হল।

প্রমাণ : স্পষ্টতই ∠TPR+∠PRT=90∘

এবং ∠ORT+∠PRT=90∘

সুতরাং ∠TPR=∠ORT= একান্তর ∠ROX=A∠

এখন সমকোণী ত্রিভুজের POQ থেকে পাই

sin(A+B)=PQ−→−OP−→−=PT−→−+TQ−→−OP−→−=PT−→−OP−→−+TQ−→−OP−→−=PT−→−OP−→−+RS−→OP−→−=PT−→−PR−→−⋅PR−→−OP−→−+RS−→OR−→−⋅OR−→−OP−→−

=cosAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB

 

 

 

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নিয়ে বিস্তারিত ঃ

 

আরও পড়ুন…

• হ্যাক স দিয়ে চিরুনি আকৃতিতে ধাতু কর্তন করা | মেকানিক্যাল ওয়ার্কশপ প্র্যাক্টিস