যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত | ম্যাথমেটিক্স – ১

বিষয়ঃ গণিত–১ (Mathematics – 1)
অধ্যায়ঃ নবম অধ্যায় (Chapter – 9)
কোর্সঃ মেকানিক্যাল টেকনোলজি (Mechanical Technology)
সেমিস্টারঃ ১ম সেমিস্টার (1st Semester)

সূচনা (Introduction)

ত্রিকোণমিতিতে কোণ একটি মৌলিক উপাদান। সাধারণত আমরা একক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত যেমন – sin A, cos A, tan A ইত্যাদি শিখে থাকি।
কিন্তু বাস্তব জীবনে ও প্রকৌশল গণনায় এমন অনেক ক্ষেত্র দেখা যায় যেখানে দুই বা ততোধিক কোণের সমষ্টি বা ব্যবধান একত্রে আসে।
এই ধরনের কোণকেই বলা হয় যৌগিক বা মিশ্র কোণ (Compound Angle)।

অর্থাৎ,

যদি A এবং B দুটি কোণ হয়, তবে (A + B), (A – B), (A + C), (A – C) ইত্যাদি কোণগুলো যৌগিক কোণ।

এই অধ্যায়ে আমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত যেমন sin(A + B), cos(A + B), tan(A + B) প্রভৃতি নির্ণয় করব, যা পরবর্তীতে প্রকৌশলীয় বিশ্লেষণ, বলের সমাবেশ, কম্পন, তরঙ্গ, বিদ্যুৎ প্রকৌশল ইত্যাদি বিষয়ে ব্যবহৃত হয়।

যৌগিক কোণের ধারণা (Concept of Compound Angles)

যৌগিক কোণ বলতে বোঝায় —

এমন একটি কোণ যা দুই বা ততোধিক পৃথক কোণের বীজগাণিতিক যোগ বা বিয়োগ দ্বারা গঠিত।

উদাহরণস্বরূপ,

• (A + B) → দুটি কোণের সমষ্টি দ্বারা গঠিত যৌগিক কোণ

• (A – B) → দুটি কোণের ব্যবধান দ্বারা গঠিত যৌগিক কোণ

 

 

উপপাদ্য ১ (Theorem 1)

প্রমাণ করতে হবে:

$$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$ $$\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

 

 

অঙ্কন ব্যাখ্যা (Geometrical Construction)

মনে করি, একটি ঘূর্ণনশীল সরলরেখা OX→ বিন্দু O কে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে OY→ অবস্থানে আসে এবং একটি ∠XOY = A সূক্ষকোণ তৈরি করে।

এরপর একই দিকেই আবার রেখাটি ঘুরে OZ→ অবস্থানে আসে, ফলে ∠YOZ = B সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে পুরো কোণটি হবে,

$$\angle XOZ=A+B$$

যদি $A+B<90°$, তাহলে এটি একটি সূক্ষকোণ।

এখন, যৌগিক কোণ (A + B) এর জন্য আমরা sin(A + B) এবং cos(A + B) এর মান নির্ণয় করব।

প্রমাণ (Proof)

অঙ্কন অনুসারে, OZ রেখার ওপর যেকোনো বিন্দু P নেওয়া হলো।
P থেকে OX রেখার ওপর লম্ব টানলে আমরা পাই, PQ লম্বটি।
R বিন্দু থেকে PQ এবং OX এর ওপর যথাক্রমে RS এবং RT লম্ব টানা হলো।

এখন আমরা নিচের সম্পর্কগুলো ব্যবহার করবঃ

সমকোণী ত্রিভুজের গুণাবলীর মাধ্যমে,

sin⁡(A+B)=PQOP\sin(A + B) = \frac{PQ}{OP}sin(A+B)=OPPQ​

এখন,

$$PQ=PT+TQ$$ $$TQ=RS$$

অতএব,

sin⁡(A+B)=PTOP+RSOP\sin(A + B) = \frac{PT}{OP} + \frac{RS}{OP}sin(A+B)=OPPT​+OPRS​

এখন,

PTOP=PTPR×PROP=cos⁡Asin⁡B\frac{PT}{OP} = \frac{PT}{PR} \times \frac{PR}{OP} = \cos A \sin BOPPT​=PRPT​×OPPR​=cosAsinB

এবং

RSOP=RSOR×OROP=sin⁡Acos⁡B\frac{RS}{OP} = \frac{RS}{OR} \times \frac{OR}{OP} = \sin A \cos BOPRS​=ORRS​×OPOR​=sinAcosB

তাহলে,

$$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

একইভাবে,

cos⁡(A+B)=OQOP=OR−RQOP\cos(A + B) = \frac{OQ}{OP} = \frac{OR – RQ}{OP}cos(A+B)=OPOQ​=OPOR−RQ​

এবং যথাক্রমে রাশি বসালে পাওয়া যায়,

$$\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

এতেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত।

উপপাদ্য ২ (Theorem 2)

যৌগিক কোণের পার্থক্য সূত্র (Difference Formula)

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে –

$$\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$ $$\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$

 

 

অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(১) ট্যানজেন্টের সূত্রঃ

tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B}tan(A+B)=1−tanAtanBtanA+tanB​ tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A – B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B}tan(A−B)=1+tanAtanBtanA−tanB​

(২) কটাঞ্জেন্টের সূত্রঃ

cot⁡(A+B)=cot⁡Acot⁡B−1cot⁡B+cot⁡A\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B – 1}{\cot B + \cot A}cot(A+B)=cotB+cotAcotAcotB−1​ cot⁡(A−B)=cot⁡Acot⁡B+1cot⁡B−cot⁡A\cot(A – B) = \frac{\cot A \cot B + 1}{\cot B – \cot A}cot(A−B)=cotB−cotAcotAcotB+1

 

 

উদাহরণ (Example)

প্রশ্ন: যদি A = 30° এবং B = 45°, তবে sin(A + B) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

$$\sin (A+B)=\sin 30°\cos 45°+\cos 30°\sin 45°$$ =(12)×(12)+(32)×(12)= \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(21​)×(2​1​)+(23​​)×(2​1​) =1+322= \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=22​1+3

 

 

যৌগিক কোণের প্রয়োগ (Applications of Compound Angle Formulas)

যৌগিক কোণের সূত্রগুলো প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞান ও স্থাপত্যে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যেমনঃ

• যান্ত্রিক প্রকৌশলে (Mechanical Engineering): বলের ফলন্ত (Resultant Force) নির্ণয়ে

• বৈদ্যুতিক প্রকৌশলে (Electrical Engineering): AC current ও voltage এর পর্যায় পার্থক্য নির্ণয়ে

• স্থাপত্য ও নির্মাণকাজে: ঢালু কাঠামোর উচ্চতা বা দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে

• তরঙ্গ ও কম্পনে: দুটি তরঙ্গের মিলন (Interference) বিশ্লেষণে

 

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো ত্রিকোণমিতির অন্যতম মৌলিক ভিত্তি।
এই সূত্রগুলো না জানলে প্রকৌশল ও পদার্থবিজ্ঞানের অনেক জটিল সমস্যা সমাধান করা সম্ভব নয়।
সুতরাং, sin(A + B), cos(A + B), এবং tan(A + B) এর সূত্রগুলো শুধু মুখস্থ নয়, বরং এর প্রমাণ ও ব্যবহারিক ব্যাখ্যা ভালোভাবে জানা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

 

 

 

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নিয়ে বিস্তারিত ঃ